Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задания всероссийской математической олимпиады:

Задача 1.

На бесконечной ленте выписаны в ряд числа.
Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи.
Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на 9 x 1000¹⁰⁰⁰ - ом месте?

Задача 2.

На столе лежат 7 карточек с цифрами от 0 до 6.
Двое по очереди берут по одной карточке.
Выигрывает тот, кто впервые из своих карточек сможет составить натуральное число, делящееся на 17.
Кто выиграет при правильной игре — начинающий или его противник?

Задача 3.

В трех клетках клетчатого листа записаны числа, а остальные клетки пусты.
Разрешается выбрать два числа из разных непустых клеток и записать в пустую клетку их сумму;
также можно выбрать числа a, b, c из трех разных непустых клеток и записать в пустую клетку число ab + c².
Докажите, что при помощи нескольких таких операций можно записать в одну из клеток квадрат суммы трех исходных чисел (какими бы они ни были).

Задача 4.

В выпуклом четырехугольнике ABCD некоторая точка диагонали AC принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AB и CD, а некоторая точка диагонали BD принадлежит серединным перпендикулярам к сторонам AD и BC.
Докажите, что ABCD — прямоугольник.

Задача 5.

В футбольном турнире участвовало 8 команд, причем каждая сыграла с каждой ровно по одному разу.
Известно, что любые две команды, сыгравшие между собой вничью, набрали в итоге разное число очков.
Найдите наибольшее возможное общее число ничьих в этом турнире.
(За выигрыш матча команде начисляется 3 очка, за ничью — 1, за поражение — 0.)

Задача 6.

Бизнесмен Борис решил устроить с трактористом Васей гонки по шоссе.
Поскольку его «Лексус» едет вдесятеро быстрее Васиного трактора,
он дал Васе фору и выехал через час после Васи.
После того, как Васин трактор проехал ровно половину запланированной трассы, у него отвалилась рессора,
поэтому оставшуюся часть пути Вася проехал вдвое медленнее, чем первую.
В результате встречи с Васиной рессорой Борису пришлось заехать в оказавшийся рядом сервис на 4 часа,
после чего он продолжил путь вдвое медленнее, чем раньше.
Докажите, что в результате он отстал от Васи не менее, чем на час.

Задача 7.

В треугольнике ABC точки M и N — середины сторон AC и AB соответственно.
На медиане BM выбрана точка P, не лежащая на CN.
Оказалось, что PC = 2PN.
Докажите, что AP = BC.

Задачи всероссийской математической олимпиады:
продолжить решение >>>