Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Четырехугольники» к учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. В учебных целях использованы цитаты из пособия «Геометрия. Дидактические материалы. 8 класс / В.А. Гусев, А.И. Медняк — М.: Просвещение».

Контрольная работа № 1
(геометрия 8 класс, учебник УМК Погорелов)

К-1. Вариант 1.
1. В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику COD. б) Известно, что АС =10 см, BD = 6 см, АВ = 5 см. Определите периметр треугольника АОВ.
2. Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равная 4 см, делит сторону параллелограмма на два равных отрезка. Периметр параллелограмма равен 27,4 см. Найдите: а) стороны параллелограмма; б) диагональ, проведенную из той же вершины, что и высота.

К-1. Вариант 2.
1. В четырехугольнике ABCD диагональ АС разбивает его на два равных треугольника ВАС и DCA. а) Докажите, что данный четырехугольник — параллелограмм, б) Известно, что угол ВАС равен 30°, а угол ВСА равен 40°. Определите углы параллелограмма.
2. Из вершины тупого угла ромба, равного 120°, проведена высота, которая отсекает от стороны отрезок 2 см.
а) Найдите периметр ромба и длину меньшей диагонали.
б) Докажите, что высота является биссектрисой угла, образованного диагональю и стороной ромба.

К-1. Вариант 3
1. В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равнобедренный. б) Определите периметр треугольника АОВ, если известно, что АВ = 4 см, BD = 5 см.
2. Из вершины прямоугольника опущен перпендикуляр на диагональ, который делит ее на два отрезка, меньший из которых равен 2 см. Перпендикуляр образует с меньшей стороной прямоугольника угол в 30°. а) Вычислите длину меньшей стороны прямоугольника и длины диагоналей, б) Докажите, что данный перпендикуляр является биссектрисой угла, образованного другой диагональю и меньшей стороной прямоугольника.

К-1. Вариант 4
1. В ромбе ABCD диагональ BD равна его стороне, а) Докажите, что треугольник ABD равносторонний, б) Известно, что ВО = 4 см (О — точка пересечения диагоналей). Найдите периметр ромба.
2. Периметр ромба равен 16 см; высота, проведенная из вершины тупого угла, делит сторону ромба пополам, а) Определите углы ромба, длину диагонали, проведенной из той же вершины, б) Докажите, что высота является биссектрисой угла, образованного данной диагональю и стороной ромба.

Ответы на контрольную работу № 1

Вариант 1.   1°. 13 см.    2. 5,7 см.

Вариант 2.   1°. 70°, 110°.    2. 16 см, 4 см.

Вариант 3.   1°. 9 см.    2. 4 см и 8 см.

Вариант 4.   1°. 32 см.    2. 120° и 60°, 4 см.

Пример решения заданий Варианта 1

Задание № 1.  В параллелограмме ABCD диагонали пересекаются в точке О. а) Докажите, что треугольник АОВ равен треугольнику COD. б) Известно, что АС =10 см, BD = 6 см, АВ = 5 см. Определите периметр треугольника АОВ.

РЕШЕНИЕ: а) диагонали при пересечении делятся пополам, значит АО = ОС и ВО = ОD; противоположные стороны параллелограмма равны, значит АВ = СD, следовательно Δ АОВ = Δ СОD (по трем сторонам).
б) АО = АС : 2 = 6 : 2 = 3 см;   ВО = ВD : 2 = 10 : 2 = 5 см;   Р Δ АОВ = АВ + АО + ВО = 5 + 3 + 5 = 13 см.
Ответ: 13 см.

Задание № 2. Один из углов параллелограмма равен 45°. Высота параллелограмма, проведенная из вершины его тупого угла, равная 4 см, делит сторону параллелограмма на два равных отрезка. Периметр параллелограмма равен 27,4 см. Найдите: а) стороны параллелограмма; б) диагональ, проведенную из той же вершины, что и высота.

РЕШЕНИЕ: Так как проведена высота к стороне параллелограмма, то образуется угол 90 градусов. Если рассмотреть треугольник, то он будет равнобедренный (180° — (90° + 45°) = 45° второй угол), а значит сторона треугольника будет равна 4 см, а сторона параллелограмма будет 8 см (т.к. разделена пополам).
Ещё одна сторона параллелограмма = периметр минус удвоенное произведение известной стороны и все разделить пополам (27,4 — 2 * 8) / 2 = 5,7 см. Значит, стороны параллелограмма = 8 см и 5,7 см.
Диагональ соответственно равна его стороне т.е. = 5,7 см.
Ответ: 5,7 см.

Геометрия 8 Контрольная К-1 (Гусев). Контрольная работа по геометрии в 8 классе «Четырехугольники» к учебнику Погорелова с ОТВЕТАМИ. Цитаты из пособия использованы в учебных целях.