Математика 10 класс

Олимпиады по математике 10 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 10 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Решение задач олимпиад по математике

Задача

В плоскости расположена прямая y
и прямоугольный треугольник ABC с катетами AC=3; BC=4 .

Вершина C находится на расстоянии 10 от прямой y .
Угол между y и направлением катета AC равен α .

Надо определить угол α , при котором поверхность, полученная вращением треугольника ABC вокруг прямой y , будет наименьшей.

Решение

Для начала найдём площадь поверхности полученного тела вращения.

Площадь боковой поверхности конуса,
образованного вращением CD , равна π· CD² sinα .

Тогда площадь поверхности, образованной вращением отрезка AC вокруг оси y будет составлять

π CD² sinα-π (CD-3)² sinα=π sinα· (6CD-9)=π sinα((6· 10)/ sinα-9)=π(60-9 sinα) .

Угол между y и направлением катета BC равен 90^o+α .
Теперь аналогично мы можем вычислить площадь поверхности, образованной вращением BC .
Она равна

π sin(α+90^o)((8· 10)/( sin(α+90^o))-16)=π(80-16 cosα) .

Осталось вычислить площадь поверхности, образуемой вращением отрезка AB .
Угол между прямой y и направлением отрезка AB равен α-β , где β= углу BAC .
Тогда sin(α-β)= sinα cosβ- sinβ cosα=3/5 sinα-4/5 cosα . Расстояние AA_y равно 10-AC sinα=10-3 sinα .
Теперь мы можем вычислить искомую площадь. Она равна

π(10·(10-3 sinα)+25·(3/5 sinα-4/5 cosα))= π(100-15 sinα-20 cosα) .

Таким образом, площадь поверхности всей фигуры вращения треугольника ABC вокруг оси y равна

π(60-9 sinα+80-16 cosα+100-15 sinα-20 cosα)=π(240-12(2 sinα+3 cosα)) .

Отметим, что если бы точка A или B лежала по другую сторону от прямой, проходящей через вершину C параллельно прямой y , то формула для площади получилась бы другой.
Получились бы другие знаки слагаемых в формуле для площади поверхности тела вращения.
Однако все они сводятся к выведенной формуле, если позволить углу α изменяться от 0^o до 360^o .

Итак, минимум площади будет достигаться при максимуме выражения
2 sinα+3 cosα= sin(α+ϕ) , где вспомогательный угол
ϕ= arctg3/2 .
Это выражение достигает максимума при α+ϕ=π/2 .

Откуда α=π/2- arctg3/2= arctg2/3 .

Олимпиады по математике 10 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад.

Главная страница

Олимпиады по математике. 10 класс. Вариант 1.

Задача 1 :

Докажите, что уравнение  x⁴– 4x³ + 12x² – 24 x +24 = 0  не имеет решений.

Задача 2 :

Докажите, что в ходе любого сыгранного футбольного матча был момент, когда одна из команд забила голов столько же, сколько другой осталось забить.

Задача 3 :

Хорда удалена от центра окружности на расстояние  h. В каждый из двух сегментов круга, стягиваемый этой хордой, вписан квадрат так, что пара его соседних вершин лежит на хорде, а другая пара соседних вершин – на соответствующей дуге окружности.
Найдите разность длин сторон квадратов.

Задача 4 :

Найдите многочлен с целочисленными коэффициентами, корнем которого является число
√2 + √3.

Задача 5 :

Первый член числовой последовательности равен 1, каждый из двух следующих равен 2, каждый из трех следующих за ними равен 3 и т.д.
Чему равен 2005-й член этой последовательности?

Решение задач :

Задача 1 :

Уравнение x⁴ – 4x³ + 12x² – 24x + 24 = 0  преобразовать к виду (x2 – 2x)² + 8(x – 1,5)² + 6 = 0,
которое не имеет решений.

Задача 2 :

Пусть первая из команд забила за весь матч m голов, вторая n голов.
Сумма числа голов в ходе матча изменяется с шагом 1 от 0 до m + n , значит, в какой-то момент она будет равна m.
Данный момент и будет искомым в задаче, потому что при этом число голов, уже забитых второй командой,
равно разности m и числа голов, уже забитой первой командой, т. е. числу голов,
которое еще предстоит забить первой команде.
Аналогично можно рассуждать и с первой командой.

Задача 3 :

Обозначим длины сторон большого и малого квадратов через 2х и 2у соответственно, радиус окружности – через R. Тогда расстояния от центра окружности до вершин вписанных квадратов, лежащих на окружности дают выражения
(2 – h)² + x² = R²,   (2y + h)² + y² = R².
Отсюда получим x - y = (4/5)h.  Тогда, разность длин сторон квадратов будет равна (8/5)h.

Задача 4 :

Обозначим √2 + √3 =a. Тогда a² = 5 + 2√6, а  (a² – 5)² = (2√6)²или a⁴ – 10a² + 25 = 24,
которое равносильно a⁴ – 10a² + 1 = 0.
А это и означает, что а является корнем многочлена
x⁴ – 10x² + 1.

Задача 5 :

Олимпиады по математике 10 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант