Математика 8 класс

Олимпиадные задания 8 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 8 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Примеры решения олимпиадных задач

Задача 1

Два совершенно одинаковых катера,
имеющих одинаковую скорость в стоячей воде,
проходят по двум различным рекам одинаковое расстояние
(по течению) и возвращаются обратно (против течения).
В какой реке на эту поездку потребуется больше времени:
в реке с быстрым течением или
в реке с медленным течением?

Решение

Пусть скорость катеров v км/ч,
скорость течения в первой реке v₁ км/ч,
а скорость течения во второй реке v₂ км/ч.
Пусть v₁>v₂ .
Если обозначить расстояние, проходимое в одном направлении катерами, через S ,
то время, затраченное первым катером на весь путь,

t₁=S/(v+v₁)+S/(v-v₁)=2Sv/(v²-v₁²),

а время, затраченное вторым катером,

t₂=2Sv/(v²-v₂²).

Поскольку числители у обоих выражений одинаковы,
то большей будет дробь с меньшим знаменателем,
а так как знаменатели есть разности с равными уменьшаемыми,
то знаменатель меньше у первой дроби,
у которой вычитаемое v₁² больше.

Ответ

Больше времени потребуется на поездку в реке с более быстрым течением.

Задача 2

Найти скорость и длину поезда,

если известно,
что он проходит мимо неподвижного наблюдателя в течение 7 с

и затратил 25 с,
чтобы проехать вдоль платформы длиной в 378 м.

Решение

Пусть x (м) – длина поезда,

y (м/с) – его скорость.

Тогда x/y = 7 и (x+378)/y = 25 ,

откуда x = 147 (м), y = 21 (м/с).

Скорость можно определить сразу:
для проезда мимо платформы поезду потребовалось 25 - 7 = 18 (с).
Следовательно, его скорость
378 : 18 = 21 (м/с),
длина его 21· 7 = 147 (м).

Ответ

21 м/с, 147 м.

Олимпиадные задачи по математике 8 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад.

Олимпиадные задания с решением. 8 класс. Вариант 2.

Задача № 1 :

Нарисуйте на плоскости пять различных прямых так, чтобы они пересекались ровно в семи различных точках.

Решение :
Три возможных ответа изображены на рисунке 1.
Можно показать, что других конфигураций из пяти прямых, пересекающихся ровно в семи различных точках, нет.

Задача № 2 :

Мальчик пошел с отцом в тир. Отец купил ему 10 пулек.
В дальнейшем отец за каждый промах отбирал у сына одну пульку,
а за каждое попадание давал одну дополнительную пульку.
Сын выстрелил 55 раз, после чего пульки у него кончились. Сколько раз он попал?

Ответ: 50.

Решение :
Каждый раз, когда мальчик попадал в цель, число имеющихся у него пулек оставалось прежним
(одну использовал и одну получил от отца).
Каждый раз, когда мальчик промахивался, число имеющихся у него пулек уменьшалось на 2
(одну использовал и одну отобрал отец).
Это значит, что сын за 55 выстрелов промахнулся 10 : 2 = 5 раз, стало быть, попал 55 – 5 = 50 раз.

Задача № 3 :

Две биссектрисы треугольника пересекаются под углом 60°.
Докажите, что один из углов этого треугольника равен 60°.

Решение :
Пусть биссектрисы AA₁ и CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке I (рис.2).
Допустим, что AIC₁ = 60°. По теореме о внешнем угле треугольника

откуда

BAC + BCA = 120°

и

ABC = 180°– BAC – BCA = 60°.

Но это еще не все решение: ведь может случиться, что AIC = 60°. Однако тогда

IAC + ICA = 120°,

откуда

BAC + BCA = 240°,

что невозможно.

Задача № 4 :

Когда Винни-Пух пришел в гости к Кролику, он съел 3 тарелки меда, 4 тарелки сгущенки и 2 тарелки варенья,
а после этого не смог выйти наружу из-за того, что сильно растолстел от такой еды.
Но известно, что если бы он съел 2 тарелки меда, 3 тарелки сгущенки и 4 тарелки варенья или 4 тарелки меда,
2 тарелки сгущенки и 3 тарелки варенья, то спокойно смог бы покинуть нору гостеприимного Кролика.
От чего больше толстеют: от варенья или от сгущенки?

Ответ : от сгущенки.

Решение :
По условию

3м + 4с + 2в > 2м + 3с + 4в,

откуда

м + с > 2в. (*)

По условию же

3м + 4с + 2в > 4м + 2с + 3в,

откуда

2с > м + в.

Складывая последнее неравенство с неравенством (*), получаем м + 3с > м + 3в, откуда с > в.

Задача № 5 :

В каждой клетке клетчатой доски размером 50 х 50 записано по числу.
Известно, что каждое число в 3 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по стороне,
и в 2 раза меньше суммы всех чисел, записанных в клетках, соседних с ним по диагонали.
Докажите, что каждую клетку доски можно покрасить в красный или синий цвет так,
что сумма всех чисел, записанных в красных клетках, равна сумме всех чисел, записанных в синих клетках.

Решение :
Покажем, что подойдет раскраска клеток доски в шахматном порядке.
Заметим, что сумма данного числа и его соседей по диагоналям равна сумме соседей этого числа по сторонам:
обе суммы втрое больше данного числа.
Поэтому в квадрате 2 х 2, находящемся в углу доски, суммы чисел в красных и синих клетках совпадают:
обе они втрое больше числа, стоящего в угловой клетке доски.
Также совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого прямоугольника 3 х 2,
примыкающего длинной стороной к краю доски:
обе они втрое больше числа, стоящего в средней клетке стороны, примыкающей к краю доски.
Наконец, совпадают суммы чисел в красных и синих клетках любого квадрата 3 х 3:
обе они втрое больше числа, стоящего в центре квадрата.

Разобьем доску 50 х 50 на квадрат 48 х 48, квадрат 2 х 2 и два прямоугольника 2 х 48, как показано на рисунке 3.
Квадрат 48 х 48 разобьем на квадраты 3 х 3, а прямоугольники 2 х 48 — на прямоугольники 3 х 2,
примыкающие длинной стороной к краю доски.
В каждом из этих квадратов и прямоугольников суммы чисел, стоящих в красных и синих клетках, равны.
Значит, они равны и на всей доске.

Олимпиадные задачи по математике 8 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Олимпиада    8 класс    |       Математика 8 класс    |       Задачи по математике 8 класс с решением