Математика 9 класс

Олимпиадные задания 9 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 9 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Решение олимпиадных задач

Задача

На окружности отмечены 2012 точек,
делящих её на равные дуги.
Из них выбрали k точек и
построили выпуклый k-угольник с вершинами в выбранных точках.
При каком наибольшем k могло оказаться,
что у этого многоугольника нет параллельных сторон?

Решение

Пусть  A₁, A₂, , A₂₀₁₂  – отмеченные точки в порядке обхода
(будем считать, что  A₂₀₁₃ = A₁,  A₂₀₁₄ = A₂).
Разобьём их на четвёрки

(A₁, A₂, A₁₀₀₇, A₁₀₀₈),  (A₃, A₄, A₁₀₀₉, A₁₀₁₀),  ...,  (A₁₀₀₅, A₁₀₀₆, A₂₀₁₁, A₂₀₁₂).

Если среди выбранных k точек
встретятся все точки некоторой четвёрки

(A_2i–1, A_2i, A_2i+1005, A_2i+1006),

то в полученном многоугольнике найдутся две стороны

A_2i–1A_2i и A_2i+1005A_2i+1006,

которые симметричны относительно центра окружности и потому параллельны.

Значит, в каждой из 503 четвёрок будет отмечено не более трёх вершин,
то есть  k ≤ 503· 3 = 1509.

Пример 1509-угольника без параллельных сторон с вершинами в отмеченных точках:

A₁A₂...A₁₀₀₆A₁₀₀₈A₁₀₁₀... A₂₀₁₂

(вершинами являются все точки с номерами от 1 до 1006 и все точки с чётными номерами от 2008 до 2012).

Действительно, стороны
A₂₀₁₂A₁, A₁A₂, ..., A₁₀₀₅A₁₀₀₆
лежат по одну сторону от диаметра
A₂₀₁₂A₁₀₀₆
и потому не параллельны; аналогично, стороны
A₁₀₀₆A₁₀₀₈, ..., A₂₀₁₀A₂₀₁₂
попарно не параллельны.

Наконец, малая диагональ
A_jA_j+2
правильного 2012-угольника не параллельна его сторонам;
значит, никакие две стороны вида
A_iA_i+1 и A_jA_j+2
также не могут быть параллельными.

Ответ

При  k = 1509.

Олимпиадные задачи по математике 9 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад.

Главная страница

Олимпиадные задания с решением. 9 класс. Вариант 2.

Задача № 1 :

В трапеции длина одной из диагоналей равна сумме длин оснований, а угол между диагоналями равен 60°.
Докажите, что трапеция – равнобедренная.

Задача № 2 :

Имеются два сосуда, в первом из них 1 л воды, второй сосуд пустой.
Последовательно проводятся переливания из первого сосуда во второй, из второго в первый и т. д.,
причем доля отливаемой воды составляет последовательно 1/2, 1/3, 1/4 и т. д. от количества воды в сосуде,
из которого вода отливается.
Сколько воды будет в сосудах после 2007 переливаний?

Задача № 3 :

Решите неравенство :     

Задача № 4 :

Решите уравнение :     x² + 2005x – 2006 = 0.

Задача № 5 :

Стрелок десять раз выстрелил по стандартной мишени и выбил 90 очков.
Сколько попаданий было в семерку, восьмерку и девятку,
если десяток было четыре, а других попаданий и промахов не было?

Решение задач :

Задача № 1 :

Пусть AD = a, BC = b, AC = a + b. Продолжим AD за точку D на расстояние DM = BC.
Тогда очевидно, что ?АСМ - равносторонний.
Но это значит, что угол АОD и угол ВОС - тоже равносторонние.
Отсюда непосредственно следует, что угол АОВ = угол СОD,
откуда имеем, что AB = CD.

Задача № 2 :

Просчитав» несколько первых переливаний, нетрудно обнаружить,
что после первого, третьего, пятого переливаний в обоих сосудах будет по ½ л воды.
Необходимо доказать, что так будет после любого переливания с нечетным номером.
Если после переливания с нечетным номером 2k-1 в сосудах было по ½ л,
то при следующем переливании из второго сосуда берется 1/(2k + 1) часть,
так что в первом сосуде оказывается - 1/2 + (2/ 2(2k + 1)) = (k + 1)/(2k + 1) (л).
При следующем переливании, имеющем номер 2k+1, из него берется 1/(2k + 2) часть и остается
(k + 1)/(2k + 1)-(k + 1)/((2k + 1)(2k + 1)) = 1/2 (л).
Поэтому после седьмого, девятого и вообще любого нечетного переливания в сосудах будет  по ½   л воды.

Задача № 3 :

Заметим, что все решения исходного неравенства  существуют, если подкоренные выражения неотрицательны. Одновременно эти неравенства выполняются лишь при условии x² – 4x + 3 = 0. Это уравнение имеет два корня 1 и 3. Проверка показывает, что исходное неравенство имеет единственное решение 3.

Задача № 4 :

Исходное уравнение имеет очевидный корень 1.
Второй корень найдем по формулам Виета. Так как x₁x₂ = -2006 и x₁ = 1, то x₂ = 2006.

Задача № 5 :

Так как стрелок попадал лишь в семерку, восьмерку и девятку в остальные шесть выстрелов,
то за три выстрела (по одному разу в семерку, восьмерку и девятку) он наберет 24 очка.
Тогда за оставшиеся 3 выстрела надо набрать 26 очков. Что возможно при единственной комбинации 8 + 9 + 9 = 26.
Итак, в семерку стрелок попал 1 раз, в восьмерку – 2 раза, в девятку – 3 раза.

Олимпиадные задания по математике 9 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант