Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задания международной математической олимпиады:

Задача 1.

Пусть ABCDEF выпуклый шестиугольник площади 1, противоположные стороны которого параллельны друг другу.
Пары прямых из AB, CD и EF определяют вершины некоторого треугольника,
а пары прямых из BC, DE и FA определяют вершины другого треугольника.
Докажите, что по крайней мере площадь одного из этих двух треугольников не менее 3/2.

Задача 2.

Пусть ABCD вписанный четырехугольник,
который не является трапецией и диагонали которого пересекаются в точке E.
Точки F и G являются серединами сторон AB и CD соответственно,
а l — прямая проходящая через G, параллельная AB.
H и K основания перпендикуляров из E на прямые l и CD соответственно.
Докажите, что прямые EF и HK перпендикулярны.

Задача 3.

На окружности v с центром в точке O выбраны точки A, B и C так, что угол ABC > 90 гр..
Пусть D — точка пересечения прямой AB с перпендикуляром к прямой AC в точке C.
Обозначим через l прямую, проходящую через D и перпендикулярную к прямой AO.
Пусть E — точка пересечения l с прямой AC, а F — точка пересечения прямой l с окружностью v,
лежащая между D и E.
Докажите, что описанные окружности треугольников BFE и CFD касаются в точке F.

Задача 4.

Вневписанная окружность v_a треугольника ABC, соответствующая вершине A,
касается прямой AB в точке P и прямой AC в Q;
а вневписанная окружность v_b, соответствующая вершине B, касается прямой BA в точке M и прямой BC в N.
Пусть K — проекция точки C на прямую MN, а L — проекция точки C на прямую PQ.
Докажите, что четыре точки M,K,L,P лежат на одной окружности.

Задача 5.

Пусть n — натуральное число.
Правильный шестиугольник со стороной n разделен на правильные треугольники со сторонами 1
(при помощи прямых, параллельных сторонам шестиугольника).
Найдите количество правильных шестиугольников
все вершины которых являются вершинами этих правильных треугольников.

Задача 6.

Трапеция ABCD вписана в окружность v с диаметром AB.
Обозначим через E точку пересечения диагоналей AC и BD.
Окружность с центром B и радиусом BE пересекает v в точках K и L,
причем K лежит по одну сторону с точкой C относительно AB.
Прямая, перпендикулярная BD в точке E, пересекает CD в точке M.
Докажите, что прямая KM перпендикулярна DL.

Задача 7.

Плоскость разделена на части конечным числом прямых, никакие три из которых не пересекаются в одной точке.
Две части называются "соседними", если пересечение их границ есть или отрезок, или полупрямая, или прямая
(точка не является отрезком).
Kаждой из частей делается попытка поставить в соответствие целое число таким образом,
что бы одновременно выполнялись следующие два условия:
а) произведение чисел, соответствующих двум соседним частям, меньше чем их сумма;
б) для каждой прямой, сумма чисел,
соответствующим всем частям, расположенным в одной и той же полуплоскости, равна нулю.
Докажите, что сделать данное соответствие возможно тогда и только тогда,
когда не все прямые параллельны между собой.

Задачи международной математической олимпиады:                  
  продолжить решение >>>