Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задачи международной математической олимпиады:

Задача 1.

Натуральное число n назовем специальным,
если существуют натуральные числа a, b, c и d, удовлетворяющие равенству
n = ( a³ + 2b³ ) / ( c³ + 2d³ ),
Докажите, что:
a) существует бесконечно много специальных чисел;
b) 2014 не специальное число.

Задача 2.

Пусть заданы треугольник ABC и прямая m, пересекающая стороны AB и AC внутренним образом соответственно в точках D и F, и продолжение BC в точке E (точка C находится между точками B и E).
Прямые, параллельные прямой m и проходящие через точки A, B и C, пересекают заново описанную окружность треугольника ABC соответственно в точках A₁, B₁ и C₁.
Докажите, что прямые A₁E, B₁F и C₁D пересекаются в одной точке.

Задача 3.

Найдите все тройки ( m, n, p ) положительных рациональных чисел таких, что все числа
m + 1/np,    n + 1/pm,    p + 1/mn     являются целыми.

Задача 4.

Вписанная окружность остроугольного треугольника ABC касается сторон AB и AC в точках D и E соответственно.
Пусть биссектрисы углов ACB и ABC пересекают прямую DE в точках X и Y соответственно,
и Z — середина стороны BC.
Докажите, что треугольник XYZ равносторонний тогда и только тогда, когда угол A = 60 гр..

Задача 5.

Найдите все простые числа p, для которых число p² - p + 1 является точным кубом.

Задача 6.

Дано целое число n > 2. Пусть S — подмножество множества { 1, 2, …, n } такое, что S не содержит два элемента,
один из которого делит другого, и не содержит два элемента, которые взаимно просты.
Найдите максимально возможное количество элементов такого множества S.

Задача 7.

Пусть точка O лежит внутри остроугольного треугольника ABC.
Окружности, с центрами в серединах сторон треугольника, проходят через точку O
и пересекаются второй раз в точках K, L и M, отличных от O.
Докажите, что O является центром вписанной окружности треугольника KLM тогда и только тогда,
когда O есть центр описанной окружности треугольника ABC.

Международные олимпиады по математике:                   
продолжить решение >>>