Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Всероссийские олимпиады по математике

Задания всероссийской математической олимпиады:

Задача 1.

У реки живет племя Мумбо-Юмбо.
Однажды со срочным известием в соседнее племя одновременно отправились молодой воин Мумбо и мудрый шаман Юмбо.
Мумбо побежал со скоростью 11 км/ч к ближайшему хранилищу плотов, и затем поплыл на плоту в соседнее племя.
А Юмбо, не торопясь, со скоростью 6 км/ч, пошел к другому хранилищу плотов и поплыл в соседнее племя оттуда.
В итоге Юмбо приплыл раньше, чем Мумбо.
Река прямолинейна, плоты плывут со скоростью течения.
Эта скорость всюду одинакова и выражается целым числом км/ч, не меньшим 6.
Каково наибольшее возможное её значение?

Задача 2.

В стране Леонардии все дороги — с односторонним движением.
Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города.
Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах,
откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него.
Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.

Задача 3.

В треугольнике ABC стороны AB и BC равны.
Точка D внутри треугольника такова, что угол ADC вдвое больше угла ABC.
Докажите, что удвоенное расстояние от точки B до прямой, делящей пополам углы, смежные с углом ADC,
равно AD + DC.

Задача 4.

Можно ли вместо звёздочек вставить в выражение
НОК(*,*,*) - НОК(*,*,*) = 2009
в некотором порядке шесть последовательных натуральных чисел так, чтобы равенство стало верным?

Задача 5.

В выпуклом четырехугольнике ABCD выполнены соотношения AB = BD; угол ABD = углу DBC.
На диагонали BD нашлась точка K такая, что BK = BC.
Докажите, что угол KAD = углу KCD

Задача 6.

На столе лежит 10 кучек с 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 и 10 орехами.
Двое играющих берут по очереди по одному ореху.
Игра заканчивается, когда на столе останется 3 ореха.
Если это — три кучки по одному ореху, выигрывает тот, кто ходил вторым, иначе — его соперник.
Кто из игроков может выигрывать, как бы не играл соперник?

Задача 7.

Для четырёх различных целых чисел подсчитали все их попарные суммы и попарные произведения.
Полученные суммы и произведения выписали на доску.
Какое наименьшее количество различных чисел могло оказаться на доске?

Задания всероссийских математических олимпиад:                   
продолжить решение >>>