Задания областной математической олимпиады 10 класс

Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.


Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

 


Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

 


Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

 


Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

 


Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

 


В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

 


Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

 


Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

 


Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

 


Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

 

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

 

Задания областной математической олимпиады 10 класс

Задания областной математической олимпиады:

 

Задача 1.

Пусть X — точка на стороне BC треугольника ABC.
Прямая, параллельная AB и проходящая через X, пересекает CA в точке V, а прямая, параллельная AC и проходящая через X, пересекает AB в точке W.
Прямые BV и XW пересекаются в точке D, а прямые CW и XV пересекаются в точке E.
Докажите, что 1/DE = 1/BX + 1/CX.

 


Задача 2.

Мышка грызет куб сыра с ребром 3, разбитый на 27 единичных кубиков.
Когда мышка съедает какой-либо кубик, она переходит к другому кубику, имеющему общую грань с предыдущим.
Может ли мышка съесть весь куб, кроме центрального кубика?

 


Задача 3.

Докажите, что утроенную сумму трех квадратов целых чисел можно представить в виде суммы
четырех квадратов целых чисел.

 


Задача 4.

Четырехугольник ABCD вписан в окружность с диаметром BD.
Пусть F симметрично A относительно BD, а N — точка пересечения AF и BD.
Прямая, проходящая через N и параллельно AC, пересекается с прямыми CD и BC в точках P и Q, соответственно.
Докажите, что точки P, C, Q и F — вершины прямоугольника.

 


Задача 5.

Докажите, что прямая, делящая площадь и периметр треугольника пополам,
проходит через центр вписанной окружности.

 


Задача 6.

Сравнить числа

cos(sin(2005))       и       sin(cos(2005)).

 


Задача 7.

Решить в рациональных числах уравнение:

x4 - 4x3 - 13x2 + 28x + 12 = 0.

 


Задача 8.

Найдите сумму: 13 + 23 + 33 + ... + n3.

 

Областные олимпиадные задания по математике для 10 класса:                    продолжить решение >>>

 

Математика: