Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задачи областной математической олимпиады 10 класс

Задачи областной математической олимпиады:

Задача 1.

Определите все натуральные числа n, удовлетворяющие условию:
n имеет ровно четыре различных натуральных делителя, сумма которых равна 108.

Задача 2.

Назовем точку на декартовой прямоугольной координатной плоскости узлом сетки,
если обе ее координаты — целые числа.
Существует ли такой круг на этой плоскости, строго внутри которого расположено ровно 2011 узлов сетки?

Задача 3.

Пусть точка O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC,
а точки A₀, B₀ и C₀ — центры окружностей, описанных около треугольников BCO, ACO и ABO, соответственно.
Докажите, что прямые AA₀ , BB₀ и CC₀ пересекаются в одной точке.

Задача 4.

Окружность, вписанная в треугольник ABC,
делит его сторону AB на отрезки AD и DB с длинами 5 см и 3 см соответственно.
Величина, угла A равна 60 гр..
Найдите длину стороны BC.

Задача 5.

В равнобедренную трапецию ABCD ( AB = CD ) вписана окружность.
Пусть M — точка касания окружности со стороной CD,
K — точка пересечения окружности с отрезком AM,
L — точка пересечения окружности с отрезком BM.
Найдите величину AMAK + BMBL.

Задача 6.

Пусть M — произвольная точка на меньшей из двух дуг CD описанной около квадрата ABCD окружности.
Прямая AM пересекает BD и CD в точках P и R, соответственно.
Прямая BM пересекает отрезки AC и DC в точках Q и S, соответственно.
Докажите, что прямые PS и QR перпендикулярны.

Задача 7.

В группе из 42 человек каждый знаком, по крайней мере, с 36 людьми из группы.
Докажите, что в этой группе найдется компания из 7 человек, в которой все знают друг друга.

Задача 8.

Имеется n шашек ( n > 2 ) с разноцветными сторонами:
одна сторона каждой шашки имеет синий цвет, а другая — красный (как для игры в реверси).
Любое расположение этих шашек по одному на вершинах правильного n - угольника назовем конфигурацией.
За один ход разрешается переворачивать три рядом стоящие шашки.
Сколько различных конфигураций шашек можно получить из фиксированной начальной применением конечного числа ходов (две конфигурации считаются различными, если они отличаются цветом шашки хотя бы в одной вершине)?

Областные олимпиады по математике для 10 класса:
продолжить решение >>>