Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Областная олимпиада по математике 10 класс

Задания областной математической олимпиады:

Задача 1.

Пусть ABCD — такой выпуклый четырехугольник,
что треугольник ABD равносторонний, а треугольник BCD равнобедренный, причем угол C = 90 гр..
Обозначим через E середину стороны AD.
Найдите величину угла CED.

Задача 2.

Сто нечетных натуральных чисел записаны в ряд.
Возможна ли ситуация,
когда одновременно сумма любых пяти записанных подряд чисел является полным квадратом
и сумма любых девяти записанных подряд чисел является полным квадратом?

Задача 3.

У школьника имеется 600 карточек с записанными на них числами.
На 200 карточках записано число 1,
на других 200 карточках записано число 2
и, наконец, на оставшихся 200 карточках записано число 5.
Школьнику нужно разложить карточки на несколько групп так,
чтобы в каждой группе сумма чисел на карточках была равна 9.
При этом некоторые карточки, возможно, не будут использованы.
Какое наибольшее количество групп карточек может получиться у школьника?

Задача 4.

Две окружности v1 и v2 с центрами O₁ и O₂, соответственно, пересекаются в двух точках A и B,
причем угол O₁AO₂ тупой.
Прямая O₂B вторично пересекает v1 в точке D, а прямая O₁B вторично пересекает v2 в точке C.
Докажите, что B — центр вписанной в треугольник ACD окружности.

Задача 5.

Дан треугольник ABC.
Пусть r — радиус вписанной в него окружности; ra — радиус полуокружности с центром на стороне BC, касающейся сторон AB и AC.
Аналогично определяются rb и rc.
Докажите справедливость равенства 2/r = 1/ra + 1/rb + 1/rc.

Задача 6.

Пусть M — произвольная точка на меньшей из двух дуг CD описанной около квадрата ABCD окружности.
Прямая AM пересекает BD и CD в точках P и R, соответственно.
Прямая BM пересекает отрезки AC и DC в точках Q и S, соответственно.
Докажите, что прямые PS и QR перпендикулярны.

Задача 7.

Чудаковатый математик написал книгу, страницы которой пронумерованы от 2 до 400 и читать которую следует так:
сначала находим последнюю страницу (400-ю) и читаем страницы (по возрастанию) с номерами,
которые имеют общие делители > 1 с 400.
Затем берем последнюю из непрочитанных страниц и повторяем то же самое,
то есть уже читаем страницы с номерами, имеющими общий делитель > 1 с 399.
Далее процесс повторяется с последней непрочитанной страницей и так далее.
Итак, последовательно нами будут прочитаны страницы с номерами: 2, 4, 5, …, 400, 3, 7, 9, …, 399, ….
Какая страница будет прочитана последней?

Задания областных математических олимпиад для 10 класса:  
продолжить решение >>>