Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задачи всероссийской математической олимпиады:

Задача 1.

1000 различных положительных чисел записаны в ряд в порядке возрастания.
Вася разбил эти числа на 500 пар соседних и нашел суммы чисел во всех парах.
Петя разбил эти же числа на 500 пар таким образом,
что между числами в каждой паре стоит ровно три других числа, и тоже нашел суммы чисел во всех парах.
Докажите, что произведение сумм, найденных Петей, больше, чем произведение сумм, найденных Васей.

Задача 2.

В выпуклом четырехугольнике ABCD углы ABC и ADC прямые.
На сторонах AB, BC, CD, DA взяты точки K, L, M, N соответственно так, что KLMN — прямоугольник.
Докажите, что середина диагонали AC равноудалена от прямых KL и MN.

Задача 3.

Дан остроугольный треугольник ABC.
Высота AA₁ продолжена за вершину A на отрезок AA₂ = BC.
Высота CC₁ продолжена за вершину C на отрезок CC₂ = AB.
Найдите углы треугольника A₂BC₂

Задача 4.

У Синдбада в кошельке 11 внешне одинаковых динаров, среди которых, возможно, один фальшивый,
отличающийся от настоящего по весу, но неизвестно в какую сторону.
Как ему расплатиться с торговцем восемью настоящими динарами, если торговец разрешил два раза воспользоваться его чашечными весами, но без гирь?

Задача 5.

На клетчатой доске размером 2014 х 2014 закрашено несколько (не меньше одной) клеток так,
что в каждом квадратике размером 3 х 3 клетки закрашено чётное число клеток.
Каково наименьшее возможное число закрашенных клеток?

Задача 6.

На окружности отметили 2013 точек и каждую соединили с двумя соседними.
Также отметили центр окружности и соединили его со всеми остальными отмеченными точками.
Можно ли покрасить 1007 отмеченных точек в красный, а остальные 1007 — в синий цвет так,
чтобы каждая красная точка была соединена с нечётным числом синих, а каждая синяя — с чётным числом синих?

Всероссийские олимпиады по математике:
продолжить решение >>>