Математика 11 класс

Олимпиады по математике 11 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 11 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Решение олимпиадных задач по математике

Задача

Решите уравнение:

(x³ – 2)(2^sin x – 1) + (2^x3 – 4) sin x = 0.

Решение

Из того, что функция y = 2^t возрастает, следует:

1) Если sin x > 0 ,
то 2 ^{sin x}-1>0 ;
если sin x < 0 ,
то 2 ^{sin x}-1<0 .

2) Если x³ - 2 > 0 ,
то 2^x3-4>0 ;
если x³ - 2 < 0 ,
то 2^x3-4<0 ;

Следовательно, если
(x³-2)(2 ^{sin x}-1)>0 ,
то (2^x3-4) sin x>0 ;
если (x³-2)(2 ^{sin x}-1)<0 ,
то (2^x3-4) sin x<0 ;
то есть знаки выражений

(x³-2)(2 ^{sin x}-1) и
(2^x3-4) sin x совпадают.

Поэтому, каждое слагаемое в левой части уравнения должно обращаться в нуль,
то есть данное уравнение равносильно совокупности:

x³ = 2 или sin x = 0 .

Ответ

{} U {πn | n Z}.

Олимпиады по математике 11 класс с ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад.

Главная страница

Олимпиады по математике. 11 класс. Вариант 1.

Задача 1 :

Докажите, что произведение четырех последовательных целых чисел, сложенное с единицей, есть точный квадрат.

Задача 2 :

Решите уравнение     sin⁴4x + cos²x = 2sin4x х cos⁴x.

Задача 3 :

Существует ли многогранник с нечетным числом граней,
каждая из которых есть многоугольник с нечетным числом сторон?

Задача 4 :

Докажите, что касательные к гиперболе y = 1/x образуют с осями координат треугольники одной и той же площади.

Задача 5 :

В каждую клетку квадратной таблицы 25 x 25 вписано произвольным образом одно из чисел 1 или -1.
Под каждым столбцом пишется произведение всех чисел, стоящих в этом столбце.
Справа от каждой строки пишется произведение всех чисел, стоящих в этой строке.
Докажите, что сумма 50 написанных произведений не может оказаться равной нулю.

Решение задач :

Задача 1 :

Пусть это 4 последовательных числа: n, n + 1, n + 2, n  + 3.
Тогда n (n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = ( ²   + 3n)(n² + 3n + 2) + 1 = (n²  + 3n)² + 2(n²  + 3n) + 1 = (n²  + 3n + 1)².

Задача 2 :

Перенесем в левую часть  2sin4x · cos⁴x и прибавим и вычтем по cos⁸x.
В результате полученное уравнение можно преобразовать к виду (sin4x – cos⁴x)² + cos²x(1 – cos⁶x) = 0,
которое равносильно следующей системе:

Решая второе уравнение и подставляя его решения в первое уравнение,
в результате получим решение исходного уравнения x = π/2 + πk .

Задача 3 :

Пусть такой многогранник существует. Обозначим за 1, 2, …, число ребер на гранях,
тогда 1 + 2 + … – удвоенная сумма всех ребер многогранника, она – четная.
А в левой части стоит нечетная сумма слагаемых, каждое из которых – нечетно.
Получили противоречие. Значит, такого многогранника не существует.

Задача 4 :

Составим уравнение касательных к гиперболе в точке

Т. к.(1/x)' = -1/(x²), то эти уравнения будут иметь вид y = -1/(х₀²)(x - х₀) + 1/х₀.(*)
Касательная с уравнением (*) пересекает ось абсцисс в точке (х₁;0);
х₁ можно определить из уравнения -1/(х₀²)(x - х₀) + 1/х₀= 0.
Решая данное уравнение, получим х₁ = 2х₀.
Точка (0; y₁) пересечения с осью ординат определяется подстановкой в уравнение (*) значения х = 0.
В итоге получим y₂ = 2/х₀.
Отрезки осей координат и касательной составляют прямоугольный треугольник,
катеты которого имеют длины  а = 2|х₀| и b = 2 / |х₀|.
Площадь данного треугольника равна 2.

Задача 5 :

Найдем произведение всех 25 чисел,
записанных под каждым столбцом и всех 25 чисел, записанных справа от строчек.
Так как в этом произведении каждое из чисел квадратной таблицы входит по два раза, то произведение этих 50 произведений, в каждом из которых стоит по 25 множителей, будет положительным, т. е. равно 1.
А так как произведение 50 чисел положительно, то отрицательных сомножителей будет четное число (2, 4, …, 50).
Сумма же 50 произведений может быть нулем лишь в случае, когда 25 слагаемых равно 1, а 25 слагаемых равно - 1, т. е. слагаемых с - 1 должно быть нечетное число.
А это значит, что сумма 50 написанных произведений не может равняться нулю.

Олимпиады по математике 11 класс:
Математическая олимпиада физтеха

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Всероссийская олимпиада по математике    |    Международная олимпиада по математике