Математика 10 класс

Олимпиада по математике 10 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 10 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Решение задач олимпиад по математике

Задача

Две окружности O и O₁ пересекаются в точке A .

Провести через точку A такую прямую,
чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O₁ , был равен данному.

Решение

Пусть задача решена.
Отрезок BC прямой, проходящей через точку пересечения двух окружностей A , равен данному отрезку a .

Опустим из центров окружностей O и O₁ перпендикуляры OE и O₁F на эту прямую.

Из центра O₁ проведем прямую O₁K , параллельную EF (смотри рисунок). EFO₁K – прямоугольник, KO₁=EF, EF=EA+AF, BE=EA, AF=FC , так как хорды делятся перпендикулярными к ним радиусами пополам. Поэтому EF=BE+FC=a/2 .

Построение сводится к построению прямоугольного треугольника KOO₁ по гипотенузе OO₁ и катету KO₁=EF=a/2 .

Построив этот треугольник, проводим искомую прямую параллельно O₁K через точку A или опускаем из точки A перпендикуляр на OK .

Поскольку по одну сторону от данного отрезка OO₁ можно построить два равных симметричных прямоугольных треугольника, то задача имеет два решения.
Два решения будет и в том случае, когда получится только один равнобедренный треугольник, так как в этом случае его катеты равноправны и условию задачи будет удовлетворять перпендикуляр, опущенный на каждый из катетов.
Построение возможно, если возможно построение прямоугольного треугольника, т. е. если a/2 < OO₁ .

В случае a/2 = OO₁ решение также возможно, но оно будет единственным.

Это будет прямая, проходящая через точку А параллельно линии центров.

Главная    |    1 класс    |    2 класс    |    3 класс    |    4 класс    |    5 класс    |    6 класс
|    7 класс    |    8 класс    |    9 класс    |    10 класс    |    11 класс

Олимпиада по математике. 10 класс.

Задача № 1 :

Назовем "соросовским произведением" двух различных чисел, a и b, число a + b + ab.
Можно ли, исходя из чисел 1 и 4,
после многократного применения этой операции к уже полученным произведениям получить:
а) число 1999;
б) число 2000?

Задача № 2 :

На валютной бирже продаются динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T).
Биржевые игроки имеют право совершать сделку купли-продажи с каждой парой валют не более одного раза в день.
Курсы обмена следующие: D = 6G; D = 25R; D = 120T; G = 4R; G = 21T; R = 5T. Утром у игрока имелось 32 динара.
Какое максимальное число
а) динаров;
б) талеров
он может получить к вечеру?

Задача № 3 :

Центр окружности, проходящей через середины всех сторон треугольника АВС, лежит на биссектрисе его угла С. Найдите сторону АВ, если ВС = а, АС = b(a не равно b).

Задача № 4 :

Решите уравнение

Задача № 5 :

Известно, что существует прямая,
делящая периметр и площадь некоторого описанного около окружности многоугольника в одном и том же отношении.
Докажите, что эта прямая проходит через центр указанной окружности.

Задача № 6 :

Пусть a³ – a– 1 = 0. Найдите точное значение выражения

Задача № 7 :

Пусть прямая, перпендикулярная стороне AD параллелограмма ABCD, проходящая через точку В,
пересекает прямую CD в точке M, а прямая, проходящая через точку В и перпендикулярная стороне CD,
пересекает прямую AD в точке N.
Докажите, что прямая, проходящая через точку В перпендикулярно диагонали АС,
проходит через середину отрезка MN.

Задача № 8 :

Возьмем на стороне ВС треугольника АВС произвольную точку D
и проведем окружность через точку D и центры окружностей, вписанных в треугольники ABD и АCD.
Докажите, что все окружности, полученные для различных точек D стороны ВС, имеют общую точку.

Олимпиадные задачи по математике 10 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант