автор урока - учитель математики - вт, 08/08/2023 - 22:57
Математика 11 класс
Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.
Варианты олимпиад по математике 11 класс с ответами и решением :
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант
Математическая олимпиада
Решение олимпиадных задач по математике
Задача
Пусть f(x) - некоторый многочлен,
известно,
что уравнение f(x)=x не имеет корней.
Докажите,
что тогда и уравнение
f(f(x))=x не имеет корней.
Подсказка
Выведите из условия, что либо
f(x)>x для любого x,
либо f(x)<x для любого x.
Решение
Из условия следует, что уравнение f(x)-x=0 не имеет решений.
Поскольку f(x)-x - непрерывная функция,
то она либо всюду положительна,
либо всюду отрицательна,
иначе она бы в некоторой точке принимала значение 0
(по теореме о промежуточном значении).
Пусть f(x)-x всюду положительна.
Это значит, что для любого x
выполнено неравенство f(x)>x.
Пусть f(x)=y.
Тогда f(f(x))=f(y)>y=f(x)>x.
Таким образом,
при любом x f(f(x))-x>0,
т.е. уравнение f(f(x))=x не имеет корней.
Аналогичным образом, показываем,
что уравнение f(f(x))=x не имеет корней
и в том случае,
когда для любого x выполнено неравенство f(x)<x.
Главная | 1 класс | 2 класс | 3 класс | 4 класс | 5 класс | 6 класс
| 7 класс | 8 класс | 9 класс | 10 класс | 11 класс
Олимпиада по математике. 11 класс.
Задача 1 :
В игре участвуют два игрока А и Б.
Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов a, b или c многочлена
x3 + ax2 + bx + c.
Игрок Б указывает значение любого из двух оставшихся коэффициентов.
Затем игрок А задаёт значение последнего коэффициента.
Существует ли стратегия игрока А такая, что как бы ни играл игрок Б, уравнение
x3 + ax2 + bx + c = 0
имеет три различных (действительных) решения?
Задача 2 :
Пусть
f(x) = (...((x – 2)2 – 2)2 – 2)2... – 2)2
(здесь скобок ( ) – n штук). Найдитеf І(0)
Задача 3 :
Числа a , b и c таковы , что
a2 + b2 + c2 = 1.
Докажите, что
a4 + b4 + c4 + 2(ab2 + bc2 + ca2)2 Ј 1.
При каких a, b и c неравенство превращается в равенство?
Задача 4 :
Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P.
Три сферы попарно касаются друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой L.
Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус наименьшей сферы.
Задача 5 :
На валютной бирже острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T).
Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой валют
не более одного раза за день.
Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D = 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T.
Например, запись D = 6G означает,что 1 динар можно купить за 6 гульденов
(или 6 гульденов можно продать за 1 динар).
Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400 талеров.
Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров.
Каково максимальное значение этого числа?
Задача 6 :
Известно, что n-вершинник содержит внутри себя многогранник M
с центром симметрии в некоторой точке Q и сам содержится в многограннике, гомотетичном M, с центром гомотетии в точке Q и коэффициентом k.
Найдите наименьшее значение k, если
а) n = 4, b) n = 5
Задача 7 :
Докажите, что существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из различных попарно взаимно простых натуральных чисел.
Задача 8 :
Докажите, что плоскость, делящая в одинаковом отношении площадь поверхности и объем описанного многогранника проходит через центр вписанной в этот многогранник сферы.
Задача 9 :
В треугольнике ABC угол A равен a, а угол B равен 2a.
Окружность с центром в точке C радиуса CA пересекает прямую,
содержащую биссектрису внешнего угла при вершине B в точках M и N.
Найдите углы треугольника MAN.
Олимпиадные задачи по математике 11 класс:
Математическая олимпиада физтеха
Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант
Всероссийская олимпиада по математике | Международная олимпиада по математике | ЕГЭ по математике