Олимпиада по математике 11 класс

Математика 11 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 11 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Решение олимпиадных задач по математике

Задача

Пусть f(x) - некоторый многочлен,
известно,

что уравнение f(x)=x не имеет корней.

Докажите,

что тогда и уравнение
f(f(x))=x не имеет корней.

Подсказка

Выведите из условия, что либо
f(x)>x для любого x,
либо f(x)<x для любого x.

Решение

Из условия следует, что уравнение f(x)-x=0 не имеет решений.

Поскольку f(x)-x - непрерывная функция,
то она либо всюду положительна,
либо всюду отрицательна,
иначе она бы в некоторой точке принимала значение 0
(по теореме о промежуточном значении).

Пусть f(x)-x всюду положительна.
Это значит, что для любого x
выполнено неравенство f(x)>x.

Пусть f(x)=y.
Тогда f(f(x))=f(y)>y=f(x)>x.

Таким образом,
при любом x f(f(x))-x>0,

т.е. уравнение f(f(x))=x не имеет корней.

Аналогичным образом, показываем,
что уравнение f(f(x))=x не имеет корней
и в том случае,

когда для любого x выполнено неравенство f(x)<x.


Главная    |    1 класс    |    2 класс    |    3 класс    |    4 класс    |    5 класс    |    6 класс
|    7 класс    |    8 класс    |    9 класс    |    10 класс    |    11 класс

Олимпиада по математике. 11 класс.

Задача 1 :

В игре участвуют два игрока А и Б.
Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов a, b или c многочлена
x3 + ax2 + bx + c.
Игрок Б указывает значение любого из двух оставшихся коэффициентов.
Затем игрок А задаёт значение последнего коэффициента.
Существует ли стратегия игрока А такая, что как бы ни играл игрок Б, уравнение
x3 + ax2 + bx = 0
имеет три различных (действительных) решения?

Задача 2 :

Пусть
f(x) = (...((x – 2)2 – 2)2 – 2)2... – 2)2
(здесь скобок ( ) – n штук). Найдитеf І(0)

Задача 3 :

Числа a , b и c таковы , что
a2 + b2 + c2 = 1.
Докажите, что
a4 + b4 + c4 + 2(abbc2 + ca2)2 Ј 1.
При каких ab и c неравенство превращается в равенство?

Задача 4 :

Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P.
Три сферы попарно касаются друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой L.
Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус наименьшей сферы.

Задача 5 :

На валютной бирже острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T).
Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой валют
не более одного раза за день.
Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D = 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T.
Например, запись D = 6G означает,что 1 динар можно купить за 6 гульденов
(или 6 гульденов можно продать за 1 динар).
Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400 талеров.
Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров.
Каково максимальное значение этого числа?

Задача 6 :

Известно, что n-вершинник содержит внутри себя многогранник M
с центром симметрии в некоторой точке Q и сам содержится в многограннике, гомотетичном M, с центром гомотетии в точке Q и коэффициентом k.
Найдите наименьшее значение k, если
а) n = 4, b) n = 5

Задача 7 :

Докажите, что существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из различных попарно взаимно простых натуральных чисел.

Задача 8 :

Докажите, что плоскость, делящая в одинаковом отношении площадь поверхности и объем описанного многогранника проходит через центр вписанной в этот многогранник сферы.

Задача 9 :

В треугольнике ABC угол A равен a, а угол B равен 2a.
Окружность с центром в точке C радиуса CA пересекает прямую,
содержащую биссектрису внешнего угла при вершине B в точках M и N.
Найдите углы треугольника MAN.

Олимпиадные задачи по математике 11 класс:
Математическая олимпиада физтеха

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Всероссийская олимпиада по математике    |    Международная олимпиада по математике    |    ЕГЭ по математике

Математика: