автор урока - учитель математики - вт, 08/08/2023 - 22:57
Математика 7 класс
Олимпиада по математике 7 класс
Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.
Варианты олимпиад по математике 7 класс с ответами и решением :
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант
Контрольные работы по математике
Математическая олимпиада
Задачи олимпиад 7 класс с решением:
Задача 1
Целые числа a, b, c и d удовлетворяют равенству a2 + b2 + c2 = d2.
Доказать, что число abc делится на 4.
Решение:
Квадрат четного числа делится на 4, а квадрат нечетного числа дает при делении на 4 остаток 1.
Если числа a, b, c — нечетные, то d2 должен давать при делении на 4 остаток 3, что невозможно.
Если среди чисел a, b, c два нечетных и одно четное, то d2 должен давать при делении на 4 остаток 2, что также невозможно.
Значит, среди чисел a, b, c есть два четных числа,
откуда произведение abc делится на 4.
Такое возможно,
например, 32 + 42 + 122 = 132.
Задача 2
Найдется ли такое натуральное число n, при котором 2n + n2
оканчивается цифрой 5?
Решение:
Число 2n может оканчиваться одной из цифр
2, 4, 8, 6 (с периодом 4),
а число n2 — одной из цифр:
1, 4, 9, 6, 5, 6, 9, 4, 1, 0 (с периодом 10).
Отсюда число 2n + n2
будет оканчиваться на 5,
если 2n оканчивается на 4 или на 6,
то есть когда число n — четно,
но тогда 2n + n2 — четно,
значит, не может оканчиваться на цифру 5.
Главная | 1 класс | 2 класс | 3 класс | 4 класс | 5 класс | 6 класс
| 7 класс | 8 класс | 9 класс | 10 класс | 11 класс
Олимпиада по математике. 7 класс.
Задача № 1 :
Лёша, Ганс и Стас сложились и купили палатку. Стас заплатил 60% от её цены,
Лёша 40% от оставшейся суммы, а Ганс – последние 30 долларов.
Сколько стоила палатка?
Задача № 2 :
Какой цифрой заканчивается произведение
7 х 27 х 47 х 67 х 87 х...х 1987 х 2007 ?
Задача № 3 :
Пять положительных чисел a, b, c, d и e таковы, что ab = 2 , bc = 3 , cd = 4 , de = 5 .
Чему равно e/a ?
Задача № 4 :
Поезд состоит из локомотива и пяти вагонов: I, II, III, IY и V.
Сколькими способами можно расставить эти вагоны при условии,
что I вагон должен быть ближе к локомотиву, чем II, а порядок остальных не важен?
Задача № 5 :
Зная, что x + 3y = 8 найдите ( 2x - 6y ) : ( 0,25x 2 -2,25y 2 ) .
Задача № 6 :
Найдите наименьшее положительное число, нацело делящееся на 12,
десятичная запись которого содержит только нули и единицы.
Задача № 7 :
На рисунке, выполненном с нарушением реальных размеров,
величины углов А, С и ADE должны быть равны 22? , 60? и 117? соответственно.
Найдите величину угла В .
Задача № 8 :
График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.
Задача № 9 :
Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы.
Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы).
Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?
Задача № 10 :
Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0.
Известно, что A = B(B – C).
Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?
Задача № 11 :
ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB.
На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC.
Найдите угол KCM.
Задача № 12 :
Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так,
чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A,
а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B?
Если да, то как? Если нет, то почему?
Олимпиадные задачи по математике 7 класс.
Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант | 2 вариант | 3 вариант
Олимпиада 7 класс | Математика 7 класс | Задачи по математике 7 класс с решением
