Олимпиады по математике с решением 7 класс

Математика 7 класс

Олимпиады по математике 7 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 7 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Задачи олимпиад 7 класс с решением:

Задача 1

Решить уравнение в целых числах:

(x – y)3 + (y – z)3 + (z – x)3 = 30

Решение:

Преобразовав данное уравнение, получим:

3(x – y)(y – z)(z – x) = 30 или
(x – y)(y – z)(z – x) = 10.

Значит, целые числа
(x – y), (y – z), (z – x) — делители числа 10,
сумма этих делителей равна нулю.
Не трудно убедиться,
что таких делителей у числа 10 нет.


Задача 2

В выпуклом четырехугольнике ABCD выполняется неравенство
AB + BD < ac + CD.
Докажите неравенство AB < AC

Решение:

Пусть точка O — пересечение диагоналей AC и BD.
По неравенству треугольника
AO + BO > AB,
OC + OD > CD, откуда

(AO + OC) + (BO + OD) > AB + CD,

или (после преобразований)
AB + CD < ac + BD.
Сложив это неравенство с данным в условии, получим:
2AB + BD + CD < 2AC + CD + BD,
откуда AB < AC.


Задача 3

Вычислительное устройство вычитает из каждого трехзначного числа
сумму кубов его цифр.
Какое число нужно ввести в устройство,
чтобы результат оказался максимальным?

Решение:

Пусть ввели некоторое трехзначное число .
Тогда устройство выдаст число

(100a + 10b + c) – (a3 + b3 + c3) = a(100 – a2) + b(10 – b2) + c(1 – c2).

Результат будет наибольшим
тогда и только тогда,
когда каждое слагаемое максимально,
то есть при
a = 6, b = 2, c = 0 или c = 1.

Ответ: 620 или 621.

Олимпиады по математике 7 класс с решением и ответами.

Главная страница

Олимпиадные задания - задачи олимпиад.

Вариант 1.

Задача № 1 :

График линейной функции отсекает от второй координатной четверти равнобедренный прямоугольный треугольник с длинами катетов, равными 3. Найдите эту функцию.

Решение :
Данный график образует с осью абсцисс такой же угол в 45,
как и биссектриса первого и третьего координатных углов.
Значит, ее угловой коэффициент равен 1.
Поскольку при x = 0 значение функции равно 3, то искомая функция есть y = x + 3.


Задача 2 :

Банк ОГОГО меняет рубли на тугрики по 3000 рублей за тугрик, и еще берет 7000 рублей за право обмена независимо от меняемой суммы.
Банк ЙОХОХО берет за тугрик 3020 рублей, а за право обмена берет 1 тугрик (тоже независимо от меняемой суммы).
Турист установил, что ему все равно, в каком из банков менять деньги. Какую сумму он собираетс менять?

Решение :
Если у туриста было X рублей, то в банке ОГОГО он получит за них (X – 7000) / 3000 тугриков, а в банке ЙОХОХО X / 3020 – 1 тугриков. Решая уравнение ( x – 7000 ) / 3000 = X / 3020 – 1, получаем X = 604000 (руб.).


Задача 3 :

Из чисел A, B и C одно положительно, одно отрицательно и одно равно 0.
Известно, что A = B (B – C).
Какое из чисел положительно, какое отрицательно и какое равно 0? Почему?

Решение :
Если A = 0, то либо B = 0, либо B – C = 0. Ни то, ни другое невозможно.
Поэтому A не 0. Если B = 0, то и A = 0. Это тоже невозможно.
Поэтому B не 0. Следовательно, C = 0, и равенство из условия задачи можно переписать в виде A = B(B-0) = B2.
Отсюда следует, что B < 0. (- умн. на - даст +) Значит, B отрицательно, а A – положительно.


Задача 4 :

ABC – прямоугольный треугольник с гипотенузой AB. На прямой AB по обе стороны от гипотенузы отложены отрезки AK = AC и BM = BC. Найдите угол KCM.

Решение :
По теореме о внешнем угле треугольника сумма углов CKA и KCA равна углу CAB.
Поскольку треугольник CAK – равнобедренный, KCA = CKA = CAB / 2. Аналогично, BCM = BMC = CBA / 2.
Таким образом, KCM = KCA + ACB + BCM = ACB + ( CAB + CBA) / 2 = 90 + 45 = 135.


Задача 5 :

Можно ли расположить в кружочках на рисунке натуральные числа от 1 до 11 так,
чтобы суммы трех чисел на каждом из пяти выходящих из центра отрезков равнялись одному и тому же числу A,
а суммы пяти чисел в вершинах внутреннего и внешнего пятиугольников равнялись одному и тому же числу B?
Если да, то как? Если нет, то почему?

Решение :
Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя.
Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке.
Все остальные числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника.
Поэтому X + 2B = 1 + ......+ 11 = 66, откуда X = 66 – 2B. Значит, число X должно быть четным.
Теперь сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках.
Получится 5A. При этом число X будет сосчитано пять раз, а все остальные – по одному разу.
Поэтому 5A = 4X + (1 + ........... + 11) = 4X + 66 (*). Значит, число 4X + 66 должно делиться на 5.
Этому условию среди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно.
Следовательно, X = 6. Подставляя найденное значение X в уравнение (*), находим, что A = 18.
Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма двух чисел, стоящих там вместе с числом X, должна равняться 18 – 6 = 12.
Получается, что на одном отрезке должны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7.
Заметим, что три из пяти перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две – из четных.
Поэтому в вершинах каждого из двух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа.
Это означает, что число B должно быть нечетным.
Но из доказанного выше равенства X = 66 – 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.

Олимпиадные задачи по математике 7 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Олимпиада    7 класс    |       Математика 7 класс    |       Задачи по математике 7 класс с решением

Математика: