Математика 6 класс

Олимпиадные задания с решением 6 класс

Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.

Варианты олимпиад по математике 6 класс с ответами и решением :

1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Математическая олимпиада

Интересные олимпиадные задачи :

Задача 1

На одной стороне улицы разбитых фонарей стояло 150 фонарей, причём среди любых трёх фонарей, стоящих подряд, хотя бы один был разбит.
После того, как электрик Киров починил несколько фонарей, среди любых четырёх фонарей, стоящих подряд, осталось не более одного разбитого.
Докажите, что электрик починил не менее 25 фонарей.

Решение к задаче 1:      1 вариант решения

Разобьём фонари на 25 шестёрок подряд стоящих, и докажем, что в каждой из них был починеный фонарь.
Предположим, что в какой-то шестёрке ни один фонарь не был починен.
В такой шестёрке не менее двух разбитых фонарей (поскольку в каждой из двух троек, составляющих шестёрку, был разбитый фонарь), между которыми не менее трёх работающих фонарей (так как иначе можно будет указать четыре фонаря, среди которых хотя бы два разбитых).
Но как раз трёх работающих фонарей подряд стоять и не может.

Решение к задаче 1:      2 вариант решения

Посмотрим на фонари до прихода электрика.
В каждой тройке подряд стоящих фонарей есть хотя бы один испорченный, значит всего испорченных фонарей не менее 50.
Пронумеруем первые 50 испорченных фонарей слева направо и разобьём на пары: 1-й со 2-м, 3-й с 4-м, и т.д. (всего 25 пар).
Между фонарями одной пары все фонари целые, а значит их не более двух.
Поэтому один из испорченных фонарей, входящих в одну пару, надо починить.

Задача 2

На Колиной чаше двухчашечных весов лежат гири весом 1 г, 3 г, …, 2001 г, а на Петиной чаше — 2 г, 4 г, …, 2000 г.
Первым ходит Коля — он убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Петиной.
Потом Петя убирает по одной гире со своей чаши до тех пор, пока она не станет легче Колиной.
Затем опять ходит Коля, потом Петя, и так далее.
Выигрывает тот, кто первым сможет убрать все гири со своей чаши.
Кто выигрывает при правильной игре?

Олимпиадные задания по математике 6 класс с решением и ответами.
Олимпиадные задания - задачи олимпиад. Решение. Ответы.

Олимпиадные задачи с решением. 6 класс

Задача № 1 :

Кассир продал все билеты в первый ряд кинотеатра, причем по ошибке на одно из мест было продано два билета. Сумма номеров мест на всех этих билетах равна 857. На какое место продано два билета?

Ответ : на тридцать седьмое место.

Сколько мест могло быть в первом ряду.
Во-первых, их не больше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 41 равна 861.
Во-вторых, их не меньше 40, так как сумма натуральных чисел от 1 до 39 равна 780, и даже после прибавления к ней 39, результат будет меньше 857.
Значит в первом ряду ровно 40 мест.
Теперь несложно определить, на какое место был продан лишний билет: 1 + … + 40 = 820; 857 – 820 = 37.

Задача № 2 :

Каждый из трёх приятелей либо всегда говорит правду, либо всегда лжёт.
Им был задан вопрос: «Есть ли хотя бы один лжец среди двух остальных?»
Первый ответил: «Нет», второй ответил: «Да». Что ответил третий?

Ответ : «Нет».

Так как первый и второй приятели дали различные ответы, то один из них – лжец, а другой – рыцарь.
Кроме того, рыцарь не мог ответить «Нет» на предложенный ему вопрос, так как в этом случае он бы сказал неправду (среди двух оставшихся точно есть лжец).
Следовательно, первый – лжец. Он солгал, значит среди двух оставшихся должен быть лжец, и им может быть только третий приятель. Значит третий ответил «Нет».

Задача № 3 :

Существует ли 10-угольник, который можно разрезать на 5 треугольников?

Ответ : существует.

Смотри рисунки :

Задача № 4 :

Вася и Митя играют в «морской бой» на поле размером 8 x 8 по следующим правилам.
Митя расставляет 16 одноклеточных кораблей так, чтобы они не соприкасались (даже углами).
Каждым ходом Вася называет одну из клеток поля и, если на этой клетке стоит корабль, то корабль считается уничтоженным.
Докажите, что независимо от расстановки кораблей Вася за 4 хода сможет уничтожить хотя бы один корабль.

Разрежем поле для игры на 16 квадратов размером 2 x 2.
Заметим, что в каждом таком квадрате не может стоять более одного корабля (иначе корабли будут соприкасаться).
Так как всего кораблей 16, то в каждом квадрате должен стоять корабль.
Таким образом, Васе достаточно полностью «расстрелять» один из этих квадратов.

Задача № 5 :

На острове Невезения отменили понедельники: у них за воскресеньем сразу следует вторник.
За последний год (то есть, с 15 декабря 2002 года по 14 декабря 2003 года) воскресенья на острове совпадали с нашими воскресеньями ровно восемь раз.
Какой день недели на острове сегодня?

Ответ : суббота.

Так как обычная неделя состоит из семи дней, а неделя на острове – из шести, то совпадение воскресений происходит один раз в 6 х 7 = 42 дня.
Значит, за 378 дней происходит 9 совпадений. Поскольку 378 – 365 = 13, то девятое совпадение должно произойти в течение ближайших тринадцати дней (с 15 по 27 декабря). Единственное воскресенье в этот период – 21 декабря.
Непосредственным подсчетом получаем, что сегодня на острове – суббота.

Задача № 6 :

На каждом километре между селами Марьино и Рощино стоит столб с табличкой, на одной стороне которой написано расстояние до Марьино, на другой – расстояние до Рощино.
Останавливаясь у каждого столба, Бобик заметил,
что если сложить все цифры, записанные на обеих сторонах таблички, то получится 13.
Найдите расстояние между селами.

Ответ : 49 километров.

Расстояние между селами не может быть больше, чем 49 километров,
так как тогда на одном из столбов будет написано с одной стороны 49, а с другой – не 0,
то есть, сумма цифр будет больше 13.
На первых девяти столбах с одной стороны записаны однозначные числа от 1 до 9,
поэтому числа, записанные с другой стороны, также должны быть из одного десятка
(чтобы суммы цифр были одинаковы).
Следовательно, искомое расстояние выражается числом, оканчивающимся на 9.
Числа 9, 19, 29 и 39 решениями не являются, так как на первом столбе сумма цифр не будет равна 13.
Таким образом, искомое расстояние равно 49 километрам.

Задача № 7 :

По кругу стоят восемь козлов разного роста.
Любой из них умеет перепрыгивать через двух соседних козлов против часовой стрелки.
Докажите, что при любом начальном расположении козлов они смогут встать по росту.

На рисунке показано, каким образом любой козел (черный) сможет допрыгать до любого места, то есть, встать за любым (белым), заранее выбранным. В это время остальные козлы стоят на своих местах.
Поэтому, сначала второй по росту козел встанет за самым высоким,
после чего за ним встанет следующий по росту, и так далее.
Такая операция возможна потому, что числа 2 и 7 – взаимно простые.

Олимпиада по математике 6 класс.

Варианты заданий с решением и ответами :
1 вариант    |       2 вариант    |       3 вариант

Олимпиада    6 класс    |       Математика 6 класс    |       Задачи по математике 6 класс с решением