Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задачи областной математической олимпиады 11 класс

Задачи областной математической олимпиады:

Задача 1.

Пусть ABC — треугольник с целочисленными длинами сторон.
Биссектриса, проведенная из вершины B, и высота, опущенная из вершины C,
пересекаются внутри треугольника в точке P.
Докажите, что отношение площадей треугольников APB и APC — рациональное число.

Задача 2.

Подмножество A множества чисел { 1, 2, … , 2010 } обладает следующим свойством:
разность любых двух чисел из A не является простым числом.
Самое большее, сколько элементов может иметь подмножество A?

Задача 3.

Докажите, что для любого натурального числа k существует натуральное число n,
имеющее ровно k различных простых делителей, и такое, что 2ⁿ² + 1 делится нацело на n³.

Задача 4.

Пусть правильный 2004 - угольник вписан в окружность единичного радиуса.
Рассмотрим множество Q четырехугольников, все вершины которых совпадают с некоторыми вершинами этого многоугольника, а длины сторон и диагоналей не равны 2.
Пусть R – подмножество Q, состоящее из четырехугольников, содержащих центр окружности внутри себя.
Докажите, что число элементов R составляет ровно половину числа элементов Q.

Задача 5.

У кассирши в одной пачке 200 денежных купюр.
Она должна все купюры в пачке перевернуть лицевой стороной вверх,
причем порядок купюр в пачке не имеет значения.
На каждом шагу она выбирает некоторое количество купюр, лежащих в пачке подряд,
и переворачивает всю выбранную часть пачки.
Найдите наименьшее возможное число шагов, которого достаточно при любом изначальном положении купюр,
чтобы перевернуть все имеющиеся в пачке купюры лицевой стороной вверх.

Задача 6.

Для каких простых чисел p уравнение x² + y² = 2003 + pz имеет решение в целых числах x, y и z?

Задача 7.

В олимпиаде участвуют 45 школьников.
Выяснилось, что любые двое из них, имеющие одинаковое количество знакомых среди участников олимпиады,
не знакомы друг с другом.
Каково наибольшее возможное число знакомых пар школьников среди участников олимпиады?

Задача 8.

Можно ли нарисовать на плоскости 2005 ненулевых векторов так,
что из любых десяти из них можно выбрать три с нулевой суммой?

Областные олимпиады по математике для 11 класса:
продолжить решение >>>