Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Областная олимпиада по математике 11 класс

Задания областной математической олимпиады:

Задача 1.

В треугольнике ABC три чевианы AA1, BB1, CC1 пересекаются в точке P внутри треугольника.
Обозначим через Sa, Sb, Sc площади треугольников AB1C1, BC1A1, CA1B1 соответственно.
Докажите, что площадь треугольника A1B1C1 является корнем уравнения

x³ + (Sa + Sb + Sc)x² - 4SaSbSc = 0.

Задача 2.

На каждой стороне треугольника выбрано по p ? 1 точек, делящих сторону на p равных частей.
Все точки деления соединены отрезками с противолежащими вершинами треугольника.
На какое наименьшее число частей разбивается треугольник этими отрезками,
если известно, что p — простое число?

Задача 3.

В остроугольном треугольнике ABC точки D, E, F — основания высот,
опущенных из точек A, B, C соответственно, H — точка пересечения высот.
Докажите, что AHAD + BHBE + CHCF = 2.

Задача 4.

Для положительных чисел a, b, c верно равенство abc = 1.

Докажите неравенство: a^{b + c} b^{c + a} c^{a + b} < 1.

Задача 5.

В шкатулке n монет достоинством в натуральное число дукатов каждая на сумму 2n - 1 дукатов.
Докажите, что любую сумму от 1 до 2n - 1 дукатов можно предоставить монетами из шкатулки.

Задача 6.

Найдите все пары ( a, b ) действительных чисел, удовлетворяющих следующей системе уравнений:

2a⁴ + b² + 2a² + b⁴ = 8
a + b = 2.

Задача 7.

Основанием пирамиды служит правильный девятиугольник.
Каждая из диагоналей основания и каждая из боковых сторон красятся в один из двух цветов красный или синий
(стороны основания не закрашиваются).
Докажите, что найдутся три закрашенных отрезка одинакового цвета, составляющие треугольник.

Задания областных математических олимпиад для 11 класса:
продолжить решение >>>