Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Среди всех фигур, с одинаковым периметром, у круга будет самая большая площадь. И наоборот, среди всех фигур с одинаковой площадью, у круга будет самый маленький периметр.

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задания областной математической олимпиады 9 класс

Задания областной математической олимпиады:

Задача 1.

Чему равно произведение последовательных целых чисел, - начинающихся числом -5 и оканчивающихся числом 5?

Задача 2.

В выпуклом пятиугольнике ABCDE
треугольники ABC, BCD, CDE, DEA и EAB имеют одинаковую площадь.
Прямые AC и AD пересекают BE в точках M и N.
Докажите, что BM = EN.

Задача 3.

Изменяя за один шаг на единицу один из коэффициентов a, b, c уравнения ax² + bx + c = 0
можно за несколько шагов из x² + 7x + 2007 = 0 получить 7x² + 2007x + 1 = 0.
Возможно ли, чтобы при этом ни одно из получаемых уравнений не имело целых корней?

Задача 4.

A, B, C ходят со скоростью 5 километров в час.
У них есть автомобиль, который вмещает только двоих, скорость его 50 километров в час.
Могут ли они втроем преодолеть расстояние в 62 км, потратив менее 3 часов?

Задача 5.

Пусть O — центр описанной окружности остроугольного треугольника ABC.
AO пересекает BC в точке K.
На сторонах AB и AC взяты точки L и M, соответственно, отличные от B и C,
так, что KL = KB и KM = KC.
Докажите, что LM и BC параллельны.

Задача 6.

Эльфы и тролли сидят за круглым столом, всего 60 существ.
Тролли всегда лгут, эльфы говорят правду, кроме случаев, когда они «ошибаются».
Каждый из сидящих утверждает, что сидит между эльфом и троллем, причем ровно два эльфа «ошиблись».
Сколько троллей сидит за столом?

Задача 7.

Пусть функция y = f(x) при всех действительных х определена, непрерывна и удовлетворяет условию:

f(f(x)) = f(x) + x.

Найдите две такие функции f (не равные тождественно нулю).

Задача 8.

Три ученика A, B и C сдают тесты для поступления в лицей.
Тесты проводятся в несколько туров. В каждом туре определяются самый лучший, средний и плохой результаты.
За самый лучший результат дается x очков, средний y очков а плохой — z очков, где x > y > z — натуральные числа.
В результате всех туров A набрал 22 очка, B и C по 9 очков каждый.
Известно, что в первом туре ученик B показал самый лучший результат.
Сколько было проведено туров, и как в каждом туре были распределены места?

Областные олимпиадные задания по математике для 9 класса:                    продолжить решение >>>