Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Американский математик Джордж Данциг, будучи аспирантом университета, однажды опоздал на урок и принял написанные на доске уравнения за домашнее задание. Оно показалось ему сложнее обычного, но через несколько дней он смог его выполнить. Оказалось, что он решил две «нерешаемые» проблемы в статистике, над которыми бились многие учёные.

В русской математической литературе ноль не является натуральным числом, а в западной, наоборот, принадлежит ко множеству натуральных чисел.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Задачи областной математической олимпиады 9 класс

Задачи областной математической олимпиады:

Задача 1.

Числа 1,2,…,9 расставили по кругу в каком-то порядке.
Докажите, что найдутся три подряд стоящих числа с суммой не менее 16.

Задача 2.

Пусть x > y > z > 0.
Докажите, что (x - y + z)(1^x - 1^y + 1^z) > 1.

Задача 3.

Найдите все целые числа, представимые в виде a³ + b³ + c³ - 3abc, где a,b,c - натуральные числа.

Задача 4.

Докажите, что существует бесконечно много натуральных n, таких,
что каждое их числе n, n + 1, n + 2 представляется в виде суммы двух квадратов целых чисел.

Останется ли верным утверждение, если вместо трех чисел рассматривать четыре числа n - 1, n, n + 1, n + 2?

Задача 5.

Сколькими способами множество, содержащее 12 элементов, можно разбить на 6 множеств,
каждое из которых содержит по 2 элемента?

Задача 6.

Внутри остроугольного треугольника ABC взята точка P так, что угол PAC = углу PBC.
Пусть L и N — основания перпендикуляров, опущенных из точки P на стороны BC и AC, соответственно,
D — середина AB.
Докажите, что DL = DN.

Задача 7.

Докажите, что любое натуральное число представимо в виде x² - y² + z², где x, y, z — натуральные числа.

Задача 8.

В каждой клетке таблицы 3 х 3 написаны действительные числа.
Элемент, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца,
равен модулю разности между суммой чисел i-й строки и суммой чисел j-го столбца ( i, j = 1, 2, 3 ).
Докажите, что любой элемент данной таблицы представим в виде суммы или в виде разности каких-нибудь
двух других элементов.

Областные олимпиады по математике для 9 класса:                   
продолжить решение >>>