Математические олимпиады

А знаете ли вы, что?

Леонардо да Винчи вывел правило, согласно которому квадрат диаметра ствола дерева равен сумме квадратов диаметров ветвей, взятых на общей фиксированной высоте. Более поздние исследования подтвердили его с одним лишь отличием — степень в формуле необязательно равняется 2, а лежит в пределах от 1,8 до 2,3. Традиционно считалось, что эта закономерность объясняется тем, что у дерева с такой структурой оптимальный механизм снабжения веток питательными веществами. Однако в 2010 году американский физик Кристоф Эллой нашёл более простое механическое объяснение феномену: если рассматривать дерево как фрактал, то закон Леонардо минимизирует вероятность слома веток под воздействием ветра.

Лабораторные исследования показали, что пчёлы умеют выбирать оптимальный маршрут. После локализации расставленных в разных местах цветков пчела совершает облёт и возвращается обратно таким образом, что итоговый путь оказывается наикратчайшим. Таким образом, эти насекомые эффективно справляются с классической «задачей коммивояжёра» из информатики, на решение которой современные компьютеры, в зависимости от количества точек, могут тратить не один день.

Если умножить ваш возраст на 7, затем умножить на 1443, то результатом будет ваш возраст написанный три раза подряд.

Мы считаем отрицательные числа чем-то естественным, но так было далеко не всегда. Впервые отрицательные числа были узаконены в Китае в III веке, но использовались лишь для исключительных случаев, так как считались, в общем, бесмыссленными. Чуть позднее отрицательные числа стали использоваться в Индии для обозначения долгов, но западнее они не прижились – знаменитый Диофант Александрийский утверждал, что уравнение 4x+20=0 – абсурдно.

Используемая нами десятичная система счисления возникла по причине того, что у человека на руках 10 пальцев. Способность к абстрактному счёту появилась у людей не сразу, а использовать для счёта именно пальцы оказалось удобнее всего. Цивилизация майя и независимо от них чукчи исторически использовали двадцатичную систему счисления, применяя пальцы не только рук, но и ног. В основе распространённых в древних Шумере и Вавилоне двенадцатеричной и шестидесятиричной систем тоже было использование рук: большим пальцем отсчитывались фаланги других пальцев ладони, число которых равно 12.

Одна знакомая дама просила Эйнштейна позвонить ей, но предупредила, что номер ее телефона очень сложно запомнить: — 24-361. Запомнили? Повторите! Удивленный Эйнштейн ответил: — Конечно, запомнил! Две дюжины и 19 в квадрате.

Стивен Хокинг — один из крупнейших физиков-теоретиков и популяризатор науки. В рассказе о себе Хокинг упомянул, что стал профессором математики, не получая никакого математического образования со времён средней школы. Когда Хокинг начал преподавать математику в Оксфорде, он читал учебник, опережая собственных студентов на две недели.

Максимальное число, которое можно записать римскими цифрами, не нарушая правил Шварцмана (правил записи римских цифр) - 3999 (MMMCMXCIX) - больше трех цифр подряд писать нельзя.

Известно много притч о том, как один человек предлагает другому расплатиться с ним за некоторую услугу следующим образом: на первую клетку шахматной доски тот положит одно рисовое зёрнышко, на вторую — два и так далее: на каждую следующую клетку вдвое больше, чем на предыдущую. В результате тот, кто расплачивается таким образом, непременно разоряется. Это неудивительно: подсчитано, что общий вес риса составит более 460 миллиардов тонн.

Во многих источниках, зачастую с целью ободрения плохо успевающих учеников, встречается утверждение, что Эйнштейн завалил в школе математику или, более того, вообще учился из рук вон плохо по всем предметам. На самом деле всё обстояло не так: Альберт ещё в раннем возрасте начал проявлять талант в математике и знал её далеко за пределами школьной программы.

Главная    |   Областные олимпиады    |   Всероссийские олимпиады    |   Международные олимпиады

Решив предложенные варианты задач математических олимпиад областного, всероссийского и международного уровней, Вы реально можете рассчитывать на поступление в профильный ВУЗ, так как победители олимпиад такого уровня имеют очень существенные льготы при поступлении в высшие учебные заведения.     Удачи.

Областная олимпиада по математике 9 класс

Задания областной математической олимпиады:

Задача 1.

На прямой отмечены четыре различные точки.
Для каждой из них вычисляется сумма расстояний от этой точки до трех других.
Может ли в результате образоваться следующая четверка чисел?
а) 29, 29, 35, 37;
б) 28, 29, 35, 37;
в) 28, 34, 34, 37.

Задача 2.

Пусть ABCD — прямоугольник.
Окружность с центром в точке D радиуса DA пересекает продолжение стороны AD в точке P.
Прямая PC пересекает во второй раз окружность в точке Q, а прямую AB — в точке R.
Докажите, что BQ = BR.

Задача 3.

Решите уравнение

2^{m + 2n + 1} + 4^m + 16ⁿ = 4^k

в натуральных числах m, n, k.

Задача 4.

Можно ли покрасить каждое натуральное число в один из трех цветов (синий, желтый и красный) так,
чтобы все цвета были использованы и для любых двух чисел разного цвета их сумма была третьего цвета
(отличного от цветов, в которые покрашены сами числа)?

Задача 5.

Дан остроугольный треугольник ABC с центром описанной окружности в точке O.
Обозначим через K основание перпендикуляра, опущенного из точки A на прямую CO.
Пусть перпендикуляр, опущенный из точки K на прямую BC пересекает прямую AB в точке N.
Докажите, что прямые CN и AB перпендикулярны.

Задача 6.

Дан квадрат n x n, раскрашенный в шахматном порядке так, что левая верхняя угловая клетка черная.
Над квадратом разрешается совершать следующую операцию:
выбрать прямоугольник размером 3 x 2 или 2 x 3,
в котором ровно три белые клетки, и перекрасить их в черный цвет.
При каких натуральных значениях n при помощи таких операций можно перекрасить все клетки в черный цвет?

Задача 7.

В треугольнике ABC ( AB < bc ) точка I — центр вписанной окружности,
M — середина стороны AC, N — середина дуги ABC описанной окружности.
Докажите, что углы IMA и INB равны.

Задача 8.

В школе учатся 2009 мальчиков и 2009 девочек.
Каждый школьник посещает не более 100 кружков.
Известно, что любой мальчик посещает с каждой девочкой по крайней мере один общий кружок.
Докажите, что существует кружок, который посещают по крайней мере 11 мальчиков и 11 девочек.

Задания областных математических олимпиад для 9 класса:                    продолжить решение >>>